La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Frecuentemente es usada como ayuda para en
Propiedades de la multiplicación
La multiplicación tiene cuatro propiedades que harán más fácil la resolución de problemas. Estas son las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro y distributiva.
Propiedad conmutativa: Cuando se multiplican dos números, el producto es el mismo sin importar el orden de los multiplicandos. Por ejemplo: 4 *2 = 2 *4
Propiedad asociativa: Cuando se multiplican tres o más números, el producto es el mismo sin importar como se agrupan los factores. Por ejemplo (2*3) *4 = 2 * (3 * 4)
Propiedad de elemento neutro: El producto de cualquier número por uno es el mismo número. Por ejemplo 5 * 1 = 5.
Propiedad distributiva. La suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6 + 3) = 4 * 6 + 4 * 3
La recta numérica. Aunque la imagen de arriba muestra solamente los números enteros entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando «ilimitadamente» en cada sentido.
Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en morado.
Valor absoluto
En la siguiente gráfica, los números -3 y 3 representan las coordenadas de dos puntos distintos en la recta numérica. Sin embargo, ambos están situados a la misma distancia del 0.
El punto correspondiente a - 3 está situado a la izquierda del 0 a la misma distancia que el punto correspondiente a 3 que se encuentra situado a la derecha.
Esto se indica con la notación valor absoluto:
½ - 3½ = 3: valor absoluto de -3 es 3.
½ 3½ = 3: valor absoluto de 3 es 3.
Si a es un número real entonces a es la coordenada o abscisa del punto A sobre la recta real o numérica. El símbolo ½ a½ indica el número de unidades entre el punto A y el origen. El número ½ a½ , no negativo, se llama valor absoluto de a.
Para un número positivo a resulta que su valor absoluto coincide con él mientras que si el número es negativo su valor absoluto es el opuesto de a. Además como 0 es el origen es evidente que ½ 0½ = 0.
Desde el punto de vista geométrico el valor absoluto de un número es la distancia entre el punto y el origen.
Desde el punto de vista algebraico, se define el valor absoluto de un número de la siguiente manera:
½ a½ =
El valor absoluto de todo número real es un número no negativo.
En símbolos:
Propiedades del valor absoluto
½ a.b½ = ½ a½ .½ b½ , " a, " b
, " a, " b ¹ 0
½ a + b½ £ ½ a½ +½ b½ , donde a, b Î R (desigualdad triangular)
" a : ½ a½ = ½ -a½
Distancia entre dos puntos
El concepto de valor absoluto permite definir la distancia entre dos puntos cualesquiera de la recta real. Por ejemplo, la distancia entre los puntos de abscisas 3 y 8, es 5.
Esta distancia se obtiene al restar las coordenadas de los puntos: 8 - 3 = 5.
Utilizando valor absoluto ½ 8 - 3½ = 5. Como ½ 3 - 8½ también es 5, se concluye que no importa el orden en el que se realice la resta.
De la misma manera si se desea determinar la distancia entre los puntos de abscisas -2 y 5:
½ 5 - (-2)½ = ½ 5 + 2½ = ½ 7½ = 7
½ - 2 - 5 ½ = ½ -7½ = 7
Para calcular la distancia entre dos puntos ubicados a la izquierda del origen, se obtiene:
½ - 3- (-2)½ = ½ - 3 + 2½ = ½ - 1½ = 1
½ - 2- (-3)½ = ½ - 2 + 3½ = ½ 1½ = 1
Definición. Sean a y b las coordenadas o abscisas de los puntos A y B sobre la recta real. La distancia entre ellos está dada por:
d(A, B) = ½ a - b½ = ½ b - a½
Se puede observar que la distancia entre el origen O y el punto A está dada por:
d(A, 0) = ½ a - 0½ = ½ 0 - a½ = ½ a½
El concepto de valor absoluto de un número se emplea en algunas definiciones importantes en el estudio del Cálculo. Se resolverán ecuaciones e inecuaciones en las que interviene dicho concepto.
Ejemplos. Determine él o los valores de x que verifican cada igualdad o desigualdad:
· ½ x½ = 3
Desde el punto de vista geométrico ½ x½ = 3 significa que la distancia del o los valores de x al cero debe ser tres. De aquí resulta que las soluciones de esta ecuación son x = 3 y x = -3.
S = { 3 ; –3}
· ½ x½ < 3
En este ejemplo se deben considerar todos los números que distan del origen menos de tres unidades. La solución de la inecuación son todos los números reales entre - 3 y 3, es decir, - 3 < x < 3. Resulta el intervalo abierto (-3, 3).
S = { x / -3 < x < 3} = (-3, 3)
· ½ x½ £ 3
Los valores de x que satisfacen la desigualdad son todos los que se encuentran a una distancia del cero menor o igual a tres. Por lo tanto el conjunto solución está formado por –3, 3 y todos los números reales comprendidos entre ellos. Resulta el intervalo cerrado [-3, 3].
S = { x / -3 £ x £ 3} = [-3, 3]
· ½ x½ > 3
Realizando el mismo análisis que en los ejemplos anteriores, resulta que los valores de x que verifican la desigualdad son aquellos que están a más de 3 unidades del origen. La solución es el conjunto de los números reales mayores que 3 o menores que -3. La solución se puede escribir como unión de dos intervalos abiertos: (-¥ , -3) È (3, +¥ ).
S = { x / x £ -3 ó x ³ 3} = (-¥ , -3) È (3, +¥ )
· ½ x½ ³ 3
La solución es el conjunto de números reales mayores o iguales que 3 o menores o iguales que - 3. Por lo tanto,½ x½ ³ 3 Û x £ -3 ó x ³ 3. Utilizando la notación de intervalos podemos escribir (-¥ , - 3] È [3, +¥ ).
S = { x / x £ -3 ó x ³ 3} = (-¥ , - 3] È [3, +¥ )
Resumiendo todas las situaciones en un mismo gráfico resulta:
De estos ejemplos se deducen las siguientes propiedades:
Propiedad 1. Sea k Î R tal que k > 0, ½ a½ = k Û a = k ó a = -k
Propiedad 2. ½ a½ < k Û -k < a < k
Esta propiedad también es válida al considerar la desigualdad "£ "
½ a½ £ k Û -k £ a £ k
Propiedad 3. ½ a½ > k Û a < -k ó a > k
También vale para "³ "
½ a½ ³ k Û a £ -k ó a ³ k.
Ejemplos. Resuelva las siguientes igualdades y desigualdades.
· ½ x - 2½ = 8
Por propiedad 1 puede ocurrir que x - 2 = 8 ó x - 2 = - 8 y resulta que x = 10 ó x = - 6
Desde el punto de vista geométrico los puntos de abscisas 10 y -6 están ubicados a 8 unidades de 2.
· ½ x - 3½ £ 7
Teniendo en cuenta la propiedad 2:
-7 £ x - 3 £ 7 Þ -7 + 3 £ x £ 7+3 Þ -4 £ x £ 10
La solución es el intervalo cerrado [-4, 10]. Geométricamente representa el conjunto de puntos de la recta cuya distancia a 3 es menor o igual que 7.
· ½ x + 4½ > 5
Según la propiedad 3 resulta: x + 4 > 5 ó x + 4 < -5
x > 1 ó x < -9
Geométricamente representa el conjunto de puntos de la recta cuya distancia a - 4 es mayor que 5. La solución está representada por la unión de los intervalos abiertos: (-¥ , -9) È (1,+¥ ).
· 0 <½ x - 5½ < 3
Debemos encontrar los valores de x que verifican ½ x - 5½ < 3 y 0 < ½ x - 5½
La primera desigualdad implica:
-3 < x - 5 < 3 Þ -3 + 5 < x < 3 + 5 Þ 2 < x < 8
Además se debe verificar que 0 < ½ x - 5½ . Como el valor absoluto es siempre positivo o nulo, los únicos valores de x que no verifican la desigualdad anterior son los que anulan ½ x - 5½.
Resolver ½ x - 5½ > 0 es equivalente a resolver ½ x - 5½ ¹ 0, de donde, x ¹ 5.
La solución es la unión de dos intervalos (2, 5) È (5, . Geométricamente representa el conjunto de puntos de la recta cuya distancia al 5 es menor que 3 pero distinta a 0.
Ejemplo. Sea el conjunto C = {x / x Î R Ù ½ 3x - (x - 6)½ £ 5}. Grafíquelo e indique el intervalo que determina.
Aplicando la propiedad ½ a½ < k Û -k < a < k y resolviendo se obtiene:
La solución es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre y , incluidos los extremos que representa el intervalo cerrado .
Su gráfica es:
Ejemplo. Sea el conjunto F = {x / x Î R Ù ½ 3x - (m - x)½ < 3}. Determine el valor de m para que resulte el conjunto de todos los números reales que están a menos de unidades de distancia de - .
Representando gráficamente todos los valores de x que están a menos de unidades de distancia de - resulta el intervalo , o sea .
Para encontrar el valor de m, se resuelve la desigualdad: ½ 3x - m + x½ < 3 Þ ½ 4x - m½ < 3
Sacando factor común 4 y aplicando las propiedades del valor absoluto: 4 Þ
Por lo tanto Þ m = -2.
O también: ½ 3x - m + x½ < 3 Þ ½ 4x - m½ < 3 Þ - 3 < 4x - m < 3 Þ
Por lo tanto debe verificarse = y = .
Resolviendo la primera se obtiene:
= Þ -3 + m = -5 Þ m = -5 + 3 Þ m = -2
Este valor de m verifica la otra igualdad, por lo tanto para que el conjunto F represente el conjunto pedido, m = -2.
Ejemplo. Sea el conjunto D = {x / x Î R Ù 0 <½ (x - 1).2 - x½ < 4}. Grafíquelo e indique el o los intervalos que determina.
Para resolver esta desigualdad se debe tener en cuenta que ½ x - 2½ < 4 y a la vez ½ x - 2½ > 0. De acuerdo a la propiedad 2 de valor absoluto resulta:
½ x - 2½ < 4 Þ - 4 < x - 2 < 4 Þ - 4 + 2 < x < 4 + 2 Þ - 2 < x < 6
La desigualdad ½ x - 2½ > 0 se verifica para todo valor real de x excepto para el que la diferencia x - 2 es nula.
La inecuación ½ x - 2½ > 0 es equivalente a x - 2 ¹ 0.
La solución es el conjunto de los números reales excepto el valor 2 (x ¹ 2).
Teniendo en cuenta las soluciones obtenidas de ambas desigualdades, se puede decir que el conjunto solución está formado por todos los números reales comprendidos entre –2 y 6 excepto 2 que se puede expresar como la unión de dos intervalos, (-2, 2) È (2, 6).
Ejemplo. Encuentre el valor de m de manera tal que la desigualdad 0 < ½ x + 2m½ < - 8m tenga como solución a (–3,1) È (1,5).
Los números reales pertenecientes a (–3,1) È (1,5) son los que verifican -3 < x < 5 y x ¹ 1.
La expresión ½ x + 2m½ < -8m se verifica para todos los valores de x que están a una distancia menor que -8m de -2m. Por lo tanto -2m = 1 y -8m = 4, de donde resulta m = .
También se puede encontrar el valor de m resolviendo la desigualdad dada.
A partir de½ x + 2m½ < -8m se obtiene:
8m < x + 2m < -8m Þ 8m - 2m < x < -8m - 2m Þ 6m < x < - 10m
Además, de la expresión ½ x + 2m½ > 0, se deduce: x + 2m ¹ 0 Þ x ¹ -2m
Comparando las desigualdades, se debe cumplir que: 6m = -3 y -10m = 5, de donde m = .
Se verifica además que para m = el valor de x resulta distinto de 1.
Si ya leyó todo el tema, creemos que es momento de resolver algunos ejercicios.
Ejemplo de Suma y Resta
En la adición, se emplea el concepto del valor absoluto.
Si se suman dos cantidades que tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se coloca el signo que tienen en común, ejemplos:
(-3) + (-5) = l-3l + l-5l = -8 (+7) + (+9) = I + 7 I + I + 9 I = +16
Si se suman dos números enteros, con distinto signo, se restan sus valores absolutos y al resultado se le coloca el signo del número que tiene mayor valor absoluto, ejemplo:
(+7) + (-5) = 1+7 1-1-51 = 7- 5 =+2
El resultado es positivo porque el número de mayor valor absoluto es el 7.
( - 10) + (+ 6) = I - 10 I - I + 6 I = 10 - 6 = - 4
El resultado es negativo, porque el número de mayor valor absoluto es el 10.
Sustracción: Sea a, b e R, en donde para realizar una suma de#- b, al minuendo (a), se le suma el simétrico o inverso aditivo del sustraendo (b). a - b = a + (- b)
Ejemplo: 10 - 8 = 10 + (- 8j = + 2
(- - ( - 6) = (- + (+ 6) = - 2
Ejemplo de Multiplicación y división
En la multiplicación se emplea el concepto del valor absoluto y la ley de los signos.
Cuando se multiplican dos números que tienen el mismo signo el resultado es positivo, ejemplos:
(+2)(+3) = 6 (-4)(-8) = 32
Cuando se multiplican dos números con distintos signos el resultado que se obtiene es negativo, ejemplos:
(-6) (+5) =-30 (+9) (-2) =-18
En la división se emplea el concepto del valor absoluto y la ley de los signos.
a ^ c
b ' d
es igual al producto de 5 por el inverso multiplicativo
. b
de c = d
d c ac _a.d_ad b ' d be be
Propiedad distributiva
La propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma (o la resta) es aquella por la que de dos o más números de una suma (o resta), multiplicada por otro número, es igual a la suma (o resta) de la multiplicación de cada término de la suma (o la resta) por el número.
a · (b + c) = a · b + a · c
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
a · (b - c) = a · b - a · c
2 · (5 − 3) = 2 · 5 − 2 · 3
2 · 2 = 10 − 6
4 = 4
Sacar factor común
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
DE LA
MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN
Analizamos la propiedad distributiva de la multiplicación
Para calcular el área del rectángulo de la figura 1, debemos recurrir a la fórmula:
Podemos calcular el área de cada uno de ellos por separado:
Área de rectángulo rojo= 3 . 2 = 6
luego
Área del rectángulo azul = 4 . 2 = 8
y por último sumarlas: 6 + 8 = 14
Observa:
Por lo tanto el Área del rectángulo de la figura1 es 14 cm
O podemos calcular el área total directamente aplicando la formula base . altura:
Área de la figura1 = 7 . 2 = 14
Observa:
Por lo tanto el Área del rectángulo de la figura1 es 14 cm
De las observaciones echas en las opciones 1 y 2 vemos que los resultados son iguales, entonces podemos deducir que:
La multiplicación es distributiva respecto de la suma.
Generalizando lo expresamos así:
a.(b + c) = a.b + a.c ^ (b + c).a = b.a + c.a
¿Crees que la multiplicación pueda ser distributiva con respecto de la resta también?
Comprobémoslo juntos observando la figura1 y calculando el Área del rectángulo rojo:
OPCIÓN 1
OPCIÓN 2
Podemos calcular el área del rectángulo rojo, restando al área total el área del rectángulo azul
Área de rectángulo rojo= 7.2 - 4.2 =
16 - 8 = 6
Por lo tanto el Área del rectángulo rojo es 6 cm
O podemos calcularla directamente aplicando la formula base . altura:
Área de rectángulo rojo= (7 - 4).2=
3 .2= 6
Por lo tanto el Área del rectángulo rojo es 6 cm
De las observaciones echas en las opciones 1 y 2 vemos que los resultados son iguales, entonces hemos comprobado que:
La multiplicación es distributiva respecto de la resta.
Generalizando lo expresamos así :
(b - c).a = b.a - c.a ^ a.(b-c) = b.a - c.a
Analizamos la propiedad distributiva de la división
Ejemplo 1:
Observando el ejemplo 1 vemos que la propiedad se cumple
Ejemplo 2
Observando el ejemplo 2 vemos que la propiedad no se cumple
Podemos decir que:
La propiedad distributiva de la división respecto de la suma y la resta se cumple sólo a la derecha.
(b + c):a = b:a + c.a ^ (b-c):a = b:a - c:a
EJERCITACIÓN
Resuelvan aplicando la propiedad distributiva y luego verifiquen el resultado
(6+5) . 2 =
(-7) . (3 - 5) =
(21 + 6) : 3 =
(42 - 12) : (-6) =
Operaciones combinadas
10 de abril de 2010 Publicado por Victoria Pérez
Llamaremos operaciones combinadas a aquellas en las cuales aparezcan varias operaciones aritméticas para resolver. Para obtener un resultado que sea el correcto es necesario seguir algunas reglas y tener en cuenta la prioridad entre las operaciones. En primer lugar se deberán separar los términos presentes para luego poder resolver cada uno de estos. Luego procederemos a resolver las operaciones que se encuentres entre paréntesis, corchetes y llaves, debemos tener en cuenta que si un paréntesis va precedido del signo + se va a suprimir y mantendrán su signo los términos que contenga, en cambio si el paréntesis va precedido del signo -, cuando se suprima el paréntesis debemos cambiar el signo a todos los términos que contenga. Para la realización de operaciones combinadas e debe seguir un orden específico. En primer lugar potenciación y radicación, en segundo lugar multiplicación y división de fracciones en el orden en el cual aparecen. En tercer lugar sumas y restas, resolviendo las sumas y las restas que separan los términos en el orden en el cual aparecen.
Mostraremos a continuación diferentes ejemplos de lo que serían operaciones combinadas y la forma de proceder para la resolución de esta:
En el caso de sumas y diferencias:
9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =
Para resolver esto efectuaremos las operaciones según aparecen comenzando por la izquierda a lo cual nos quedaría la siguiente resolución:
9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7
En el caso de tener sumas, restas y multiplicaciones, Realizaremos en primer lugar los productos ya que estos tienen mayor prioridad, continuo a esto efectuaremos las sumas y restas:
Si tenemos suma, restas, multiplicaciones y divisiones. Efectuamos primero las multiplicaciones y cocientes en el orden en el cual los encontramos, ya ambas tienen la misma prioridad. Por ultimo realizaremos sumas y restas:
En caso de tener, sumas, restas, productos, divisiones y también potencias, efectuaremos en primer lugar las potencias, las cuales en este caso tienen mayor prioridad, a continuación realizaremos los productos y cocientes dejando por ultimo las sumas y restas:
En caso de tener paréntesis efectuaremos primordialmente las operaciones que estén incluidas en ellos. Luego quitaremos los paréntesis, realizando luego las operaciones:
Si tenemos paréntesis y corchetes, resolveremos primero las potencias, productos y cocientes que se encuentren dentro de los paréntesis. Realizaremos luego las suma y restas de los paréntesis, resuelto esto podemos usar paréntesis directamente y no corchetes. Luego resolveremos lo que quedó incluido en los paréntesis. Multiplicaremos, restaremos y sumaremos. El siguiente es un ejemplo claro:
En caso de operar con fracciones, primero debemos proceder a realizar los productos y números mixtos que se encuentren dentro de los paréntesis. Luego de esto se realizará una simplificación. Realizando siempre en primer lugar las operaciones dentro del paréntesis. Por ultimo se realizaran las operaciones del numerador, dividiendo y luego simplificando el resultado, observemos esto en el siguiente ejemplo:
Para dejar el tema más claro les dejaré el siguiente ejemplo, en donde se muestran también notoriamente como proceder a la resolución de una operación combinada:
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, " a, " b ¹ 0
. Geométricamente representa el conjunto de puntos de la recta cuya distancia al 5 es menor que 3 pero distinta a 0. 
y 
, incluidos los extremos que representa el intervalo cerrado 
.
unidades de distancia de - 
.
, o sea 
.
Þ 
Þ m = -2.
= 
y 
= 
. 
. 
. 
